数学の未解決問題と超難問は？！5分で読めるわかりやすいまとめ

望月新一教授が解いたとされるABC予想をはじめ、数多くの天才が挑んでも解けない「数学の未解決問題・超難問」で、まだ解かれていない「未解決問題」はどんなものがあるのでしょうか？既に解かれた超難問とあわせてまとめました。

数学の未解決問題まとめ

リーマン予想

数学の専門家でないと、何を言っているのかわからない予想です。

リーマンゼータ関数の零点が、負の偶数と、実部が $1/2$ の複素数に限られるという予想

出典：ウィキペディア

1859年にリーマンが予想したのですが、160年経ったいまでも解かれていない超難問です。

A mathematician claims to have solved the million-dollar Riemann hypothesis https://t.co/CSp7gBrLaz pic.twitter.com/evkNJg5trt

— Newsweek (@Newsweek) 2018年10月1日

ホッジ予想

こちらも素人には何を言っているか全く意味不明ですが、以下の予想です。

部分多様体のホモロジー類のポアンカレ双対の和として表されるようなド・ラームコホモロジー類であろうという予想である。

出典：ウィキペディア

1950年に予想が公表されたのですが、まだ証明されていません。

NEWSFLASH: Eminent mathematician Andrew Wiles, who proved Fermat’s Last Theorem, has solved all 6 remaining Clay Millenium problems (including the Riemann hypothesis and Hodge conjecture), all at once, at hence stands to claim $6 million in prize money. What a guy! pic.twitter.com/rq1DTYQLTN

— DrFrostMaths (@DrFrostMaths) 2019年4月1日

最近解かれた超難問まとめ

フェルマーの最終定理

1994年にイギリスのアンドリュー・ワイルズ教授によって証明され、1995年に「証明は間違いない！」と検証されました。

問題の内容は、以下のように非常にシンプルです。

$3$ 以上の自然数 $n$ について、 $x n + y n = z n$ となる自然数の組 $(x, y, z)$ は存在しない、という定理のこと

出典：ウィキペディア

素人的には「なんか簡単そうだな」と感じるのですが、歴史上の数ある天才が挑んでも360年間解けなかった超難問です。

「フェルマー本人も解けなかったのか？」と思いますが、なんとフェルマー本人は「解けたけど、ここに書けない」って言い残してこの世を去っている、なんともユニークな方です。

この定理に関して、私は真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを書くには狭すぎる。

出典：ウィキペディア

「嘘ついてるんじゃね？」って考えるのが当然です。

が、彼が書き残した「書き込み」には「証明できた」って言っているものと、「予想される」って書かれたものの２パターンあるそうです。

しかも・・・

書込みの中には後世の数学者達によって否定的に証明されたものもあるが、それらは全て「予想する」と書かれたものであり、フェルマーが「証明できた」と断言しているものは全て後世の数学者達によって肯定的に証明されている。

出典：ウィキペディア

だそうです。

今となっては確かめる術はありませんが、「フェルマーは本当に証明していた」と考えるのが、ロマンもあるし信ぴょう性もありますね。

ポアンカレ予想

フェルマーの最終定理に比べると、素人的には何を言っているかわからない予想ですが、

「単連結な3次元閉多様体は3次元球面 $S 3$ に同相である」

出典：ウィキペディア

という問題です。

1904年にポアンカレというフランス人によって予想され、ロシア人のペレルマンによって2002年から2003年にかけて証明されました。

This homeless looking guy is Grigori Yakovlevich Perelman. The mathematician who solved one of the Millennium Problems in 2002 and turn down the prize of one million dollars. pic.twitter.com/tCpkU4Z1h9

— Sick Gaming (@_SickGaming) 2019年2月21日

ペレルマンさんも非常にユニークで、数学の超難問を解けた人に贈られるフィールズ賞やミレニアム賞を辞退されています。

おそらく「数学の超難問を解く」ことに関心があって、地位とか名誉には興味がないんでしょうね。